Svar: `8/9`

Lösning:

Steg 1 - Illustration

Uppgiften kan bli lättare ifall vi först illustrerar hur problemet kan se ut, det är inte nödvändigt men kan hjälpa med förståelsen.

Bild till uppgift

Steg 2 - Triangeln

Bild till uppgift

Bilden ovan visar hur triangeln ser ut, för att beräkna triangelns area så måste vi veta dess bredd och dess höjd. Bredden vet vi är `a`, höjden som vi ser i bilden ovan, får vi genom att ta reda på `y`-värdet i kurvans extrempunkt.

Vi tar reda på `x`-värdet i funktionens extrempunkt genom att undersöka när derivatan av kurvan är noll.

`y^'=2ax-3x^2`

`y^'=0 iff 2ax-3x^2=0 iff x(2a-3x)=0`

`2a-3x=0 iff x=(2a)/3`

`x_1=0, x_2=(2a)/3`

Det innebär att triangelns höjd ges av kurvans `y`-värde för `x=(2a)/3`. Se bilden nedan!

Bild till uppgift

Triangelns höjd blir då:

`h=y((2a)/3)=a((2a)/3)^2-((2a)/3)^3=a cdot (4a^2)/9-(8a^3)/27`

`= (12a^3)/27-(8a^3)/27=(4a^3)/27` l.e.

Triangelns area blir då:

`A_("triangel")=(b cdot h)/2 = (a cdot (4a^3)/27)/2=(2a^4)/27` a.e.

Steg 3 - Kurvan

Bild till uppgift

Området under kurvans area är desto enklare att beräkna eftersom vi bara behöver beräkna integralen över kurvan från `0` till `a`:

`A_("område")=int_0^a ax^2-x^3dx=[(ax^3)/3-x^4/4]=(a cdot a^3)/3-a^4/4`

`a^4/3-a^4/4 = (4 cdot a^4)/12-(3 cdot a^4)/12 = a^4/12` a.e.

Steg 4 - Förhållandet

Bild till uppgift

Förhållandet mellan triangelns och områdets area får vi då genom att dividera triangelns area med områdets area.

`A_("triangel")/A_("område")=((2a^4)/27)/(a^4/12)=(2 cdot 12 a^4)/(27 a^4)=24/27=8/9`

``